大学物理 麦克斯韦方程组

Chapter 9 - 麦克斯韦方程组

位移电流

假设静电场的高斯定理也适用于变化的电场，可以定义位移电流：

$$I_d = \iint\limits_S \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\vec{s}$$

因此，位移电流密度为：

$$\vec{j}_d = \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t} = \varepsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t} + \frac{\partial\overrightarrow{P}}{\partial t}$$

位移电流实际上是由变化的电场引发的电流，其可以保证非稳恒电流的连续性，例如可以认为，在电容器的充电过程中，两板间存在着位移电流

位移电流也可以激发磁场，因此可以扩充 $\overrightarrow{H}$ 的环路定理：

$$\oint_L\overrightarrow{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \sum\left(I_0 + I_d\right) = \iint\limits_{S}\left(\vec{j}_0 + \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

这被称为全电流定律

麦克斯韦方程组

设空间既有自由电荷和传导电流，又有变化的电场和磁场，同时还有电介质和磁介质，则满足一下定律：

1. 静电场和感生电场叠加的安培环路定理：

$$\oint_L\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = -\iint\limits_{S}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

2. $\overrightarrow{D}$ 的高斯定理

$$\oiint\limits_{S} \overrightarrow{D}\cdot\mathrm{d}\vec{s} = \iiint\limits_{V}\rho\,\mathrm{d}V$$

3. 全电流定律：

$$\oint_L\overrightarrow{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \iint\limits_{S}\left(\vec{j}_0 + \frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

4. 磁通连续定律：

$$\oiint\limits_{S}\overrightarrow{B}\cdot\mathrm{d}\vec{s} = 0$$

5. 各向同性介质的性能方程（最后一个为欧姆定律）：

$$\overrightarrow{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r \overrightarrow{E},\quad \overrightarrow{B} = \mu_0\mu_r\overrightarrow{H},\quad\vec{j} = \sigma\overrightarrow{E}$$

6. 洛伦兹力（用于预测粒子运动）

$$\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} + q\vec{v}\times\overrightarrow{B}$$

积分形式

微分形式

在界面处，场不连续，因此需要补充界面关系：

以上 8 个方程便完备了

电磁波

考虑不带电荷且无传导电流的无限大均匀介质区域，即 $\rho = 0, \vec{j}_0 = \mathbf{0}$

根据 $\nabla$ 乘积运算法则得到：

$$\begin{cases} \nabla^{2}\overrightarrow{E} = \dfrac{1}{u^2}\dfrac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2} \\[1em] \nabla^{2}\overrightarrow{H} = \dfrac{1}{u^2}\dfrac{\partial^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2} \end{cases}$$

其中，$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$

这是经典力学中的波动方程，其中 $u$ 为波速，预言了电磁波的存在

最简单的解为平面简谐波解：

$$\begin{align*} \overrightarrow{E}(x, t) &= \overrightarrow{E}_0 \cos \omega\left(t - \frac{x}{u}\right)\\ \overrightarrow{H}(x, t) &= \overrightarrow{H}_0 \cos \omega\left(t - \frac{x}{u}\right) \end{align*}$$

其中 $\overrightarrow{H}_0, \overrightarrow{E}_0$ 分别代表电磁波在该点沿对应方向的振幅矢量

平面电磁波的性质

平面电磁波是横波，$\overrightarrow{E}, \overrightarrow{H}, \vec{u}$ 三者的方向满足右手定则

振幅大小满足：

$$\sqrt{\mu}H = \sqrt{\varepsilon}E \implies \frac{E}{B} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = u$$

真空中，电磁波速度 $\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = c$，因此光是电磁波

因此，不同材料的折射率为：

$$n = \frac{c}{u} = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$$

电磁波的能量和动量

能量密度

对于一般的电磁波，其能量密度是电场和磁场的能量密度之和，即：

$$w = w_e + w_m = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + \frac{1}{2}\mu H^2$$

对于平面电磁波，代入振幅等式可知：

$$w = \varepsilon E^2 = \varepsilon E\cdot\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}H = \frac{EH}{u}$$

能流密度

表示单位时间内通过垂直波传播方向的单位面积的能量，定义式为：

$$\overrightarrow{S} = w\vec{u} = \frac{EH}{u}\vec{u} = \overrightarrow{E}\times\overrightarrow{H}$$

也被称为坡印廷矢量

动量密度

表示单位体积内的动量，定义式为：

$$\vec{g} = m\vec{u} = \frac{w}{c^2}\vec{u} = \frac{1}{c^2}\overrightarrow{S}$$