大学物理 矢量分析

Chapter 0 - 电磁学中需要的矢量分析知识

本文将总结格林公式、高斯定理、斯托克斯公式、外微分形式、广义斯托克斯公式、Nabla 算子以及各种矢量场的定义

Nabla 算子

Nabla 算子在三维空间中定义为：

$$\nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z}$$

它对标量函数或矢量函数作用，可以得到不同的导数：

• 梯度 (Gradient)：作用于标量场 $f(x, y, z)$，得到一个矢量场，表示 $f$ 变化最快的方向和速率

  $$\operatorname{gra\mathrm{d}} f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$

• 散度 (Divergence)：作用于矢量场 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，得到一个标量场，表示 $\mathbf{F}$ 在一点处的源强度，即流出量

  $$\operatorname{\mathrm{d}iv} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

• 旋度 (Curl)：作用于矢量场 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，得到一个矢量场，表示 $\mathbf{F}$ 在一点处的旋转强度和旋转轴方向

  $$\begin{align*} \operatorname{curl} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[0.5em] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[1em] P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathbf{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf{k} \end{align*}$$

在球坐标系下，假设基矢量为 $(\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi})$，则算子变换为：

$$\nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}$$

系数出现的原因是基矢量的位置依赖性，即：

$$\begin{align*} \hat{r} &= \sin\theta \cos\phi \,\hat{x} + \sin\theta \sin\phi \,\hat{y} + \cos\theta \,\hat{z} \\ \hat{\theta} &= \cos\theta \cos\phi \,\hat{x} + \cos\theta \sin\phi \,\hat{y} - \sin\theta \,\hat{z} \\ \hat{\phi} &= -\sin\phi \,\hat{x} + \cos\phi \,\hat{y} \end{align*}$$

运算法则

二阶微分算子

1. 标量拉普拉斯算子

   $$\nabla^2 u = \nabla \cdot (\nabla u) = \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

2. 向量拉普拉斯算子

   $$\nabla^2 \mathbf{F} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})$$

3. 旋度的散度

   $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$$

4. 梯度的旋度

   $$\nabla \times (\nabla u) = \mathbf{0}$$

乘积法则

1. 标量乘积的梯度

$$\nabla(uv) = u \nabla v + v \nabla u$$

2. 标量与向量乘积的散度

$$\nabla \cdot (u\mathbf{F}) = u (\nabla \cdot \mathbf{F}) + (\nabla u) \cdot \mathbf{F}$$

3. 标量与向量乘积的旋度

$$\nabla \times (u\mathbf{F}) = u (\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla u) \times \mathbf{F}$$

4. 向量点积的梯度

$$\nabla (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G}) = \mathbf{F} \times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G} \times (\nabla \times \mathbf{F}) + (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F}$$

其中 $(\mathbf{F} \cdot \nabla)$ 是另一个算子，称为方向导数算子，在直角坐标系中：

$$(\mathbf{F} \cdot \nabla) = F_x \frac{\partial}{\partial x} + F_y \frac{\partial}{\partial y} + F_z \frac{\partial}{\partial z}$$

5. 向量叉积的散度

$$\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{G} \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})$$

6. 向量叉积的旋度

$$\nabla \times (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = \mathbf{F}(\nabla \cdot \mathbf{G}) - \mathbf{G}(\nabla \cdot \mathbf{F}) + (\mathbf{G} \cdot \nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F} \cdot \nabla)\mathbf{G}$$

球坐标系

• 二维情况下，散度：

$$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}$$

• 三维情况下，散度：

$$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$$

核心积分定理

这些定理建立了矢量场在区域内部的微分性质与其在边界上的积分行为之间的联系

格林公式

格林公式是连接平面区域 $D$ 上的二重积分与其边界曲线 $C$ 上的曲线积分的关系式它有两个常见形式：

• 通量形式：将曲线上的通量积分（法向量分量积分）与区域内的散度联系起来

  $$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d}s = \iint_D (\nabla \cdot \mathbf{F}) \mathrm{d}A$$

  其中 $\mathbf{n}$ 是 $C$ 的单位外法向量，$\mathrm{d}s$ 是弧长微元，$\mathrm{d}A$ 是面积微元，$\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}$

• 环量形式：将曲线上的环量积分（切向量分量积分）与区域内的旋度（垂直于平面的分量）联系起来

  $$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_D (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} \mathrm{d}A$$

  其中 $\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}x\mathbf{i} + \mathrm{d}y\mathbf{j}$
  等价的标准形式是：

  $$\oint_C P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A$$

高斯定理

高斯定理将三维空间中的闭合曲面 $S$ 上的通量积分与曲面所包围的体积 $V$ 内的散度积分联系起来

$$\oiint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \mathrm{\mathrm{d}}V$$

其中，$\mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{S} = \mathbf{n} \mathrm{\mathrm{d}}S$，$\mathbf{n}$ 是 $S$ 的单位外法向量，$\mathrm{\mathrm{d}}S$ 是面积微元

物理意义: 流出闭合曲面的总通量等于曲面所围体积内所有源（或汇）产生的净流量

斯托克斯公式

斯托克斯公式将三维空间中曲面 $S$ 上的旋度通量积分与曲面边界曲线 $C$ 上的环量积分联系起来

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{S}$$

其中：

• $C$ 是曲面 $S$ 的边界曲线
• $\mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{r}$ 是曲线 $C$ 的切向微元
• $\mathrm{\mathrm{d}}\mathbf{S} = \mathbf{n} \mathrm{\mathrm{d}}S$，$\mathbf{n}$ 是曲面 $S$ 的单位法向量（方向由曲线 $C$ 的绕行方向按右手定则确定）

物理意义: 矢量场沿闭合曲线 $C$ 的环量等于穿过以 $C$ 为边界的任意曲面 $S$ 的旋度通量

外微分形式与广义斯托克斯公式

为了更深刻地理解上述定理的统一性，并推广到更高维度和更一般的对象（微分形式），引入外微分和广义斯托克斯公式

微分形式

微分形式是一种比函数或向量场更抽象、更统一的几何对象

• 0-形式：普通的标量函数 $f$
• 1-形式：形如

  $$\omega = P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y + R\,\mathrm{d}z$$

  这类似于一个向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，只是它作用在方向微分上
• 2-形式：形如

  $$\eta = P\,\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y$$

  它描述的是面上的量，比如通量或旋度的形式
• 3-形式：形如

  $$\rho = f\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z$$

  可以理解为体积元，代表体积密度
• 一般的 $k$-形式：对应 $k$ 维的方向量，比如线、面、体在更高维空间中的推广

外微分算子

外微分是一个统一的“微分”操作，它可以把一个 $k$-形式变成一个 $(k+1)$-形式，从而在不同维度间建立联系：

外微分满足一个非常重要的性质，即庞加莱引理：

$$\mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0$$

类似于：

$$\nabla \times (\nabla f) = 0, \quad \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0.$$

广义斯托克斯公式

其中：

• $M$ 是一个带边界的可定向流形（如曲线、曲面、体积）
• $\partial M$ 是 $M$ 的边界（可能为空）
• $\omega$ 是一个定义在 $M$ 上的 $(k-1)$-形式
• $\mathrm{d}\omega$ 是 $\omega$ 的外微分，一个定义在 $M$ 上的 $k$-形式

广义斯托克斯公式表达的是一种几何关系：“整体的变化量等于边界上的总流量”

这个定理把一维的微积分基本定理、二维的格林公式、三维的斯托克斯定理与高斯散度定理全部统一在同一个框架中：

各种矢量场

基于散度和旋度的性质，可以定义几种重要的特殊矢量场：

• 无旋场：旋度处处为零

  $$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$$

  • 性质：在单连通区域内，存在一个标量势函数 $\phi$ 使得 $\mathbf{F} = \nabla \phi$，其沿闭合曲线的环量为零
  • 例如，静电场 ($\mathbf{E} = -\nabla \varphi$)

• 无源场：散度处处为零

  $$\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$$

  • 性质：存在一个矢量势函数 $\mathbf{A}$ 使得 $\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A}$，其穿过闭合曲面的通量为零
  • 例如，磁场 ($\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$)

• 调和场：同时无旋且无源

  $$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}, \quad \nabla \cdot \mathbf{F} = 0$$

  • 性质：其势函数满足拉普拉斯方程 ($\nabla^2 \phi = 0$ 或 $\nabla^2 \mathbf{A} = \mathbf{0}$)

• 保守场:在单连通区域内等价于无旋场沿任意闭合路径的功（线积分）为零