大学物理 稳恒电流

Chapter 5 - 稳恒电流

电流密度

描述电流场的基本物理量是电流密度矢量，大小为单位时间通过单位垂直面积的电量，方向是正载流子形成对应电流的运动方向

对于单一载流子，假设其其电荷量大小为 $q$，数密度为 $n$，则：

$$\vec{j} = \frac{n(v\Delta t\Delta S_\perp)q}{\Delta t \Delta S_{\perp}}\cdot \frac{\overrightarrow{v}}{v} = nq\overrightarrow{v}$$

对于金属来说，电子导电，则：

$$\vec{j} = -ne\left<\vec{v}\right>$$

其中 $\left<\vec{v}\right>$ 是平均定向流动速度，称为飘移速度

电流强度

可以看成是电流强度的通量，即：

$$I = \iint\limits_{S} \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

因此可以用电流强度来定义电流密度矢量：

$$\vec{j} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}}\hat{n}$$

其中 $\hat{n}$ 是指向电流方向的单位向量

这也可以引出电流线的概念，电流线上任一点切向即为该点 $\vec{j}$ 的方向，电流线的数密度就是 $\vec{j}$ 的大小

电流连续性方程

对任一闭合曲面，电流密度满足：

$$\oiint\limits_{S}\vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{s} = -\frac{\mathrm{d} q_{\text{in}}}{\mathrm{d} t}$$

稳恒电流

指 $\vec{j}$ 不随时间变化的电流

根据电流连续性方程，这说明电荷分布不随时间变化，再根据 $E$ 的高斯定理，这说明产生的电场也不随时间变化，这被称为稳恒电场

稳恒条件是：

$$\oiint\limits_{S}\vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{s} = 0$$

这说明电流场是闭合的

欧姆定律

直接列公式了：

$$\begin{align*} U &= IR \\[1em] R &= \rho\frac{L}{S} \\[1em] G &= \frac{1}{R} \\[1em] \sigma &= \frac{1}{\rho} \end{align*}$$

$G$ 称为电导，单位为西门子

欧姆定律也有微分形式，即：

$$\vec{j} = \sigma\cdot\overrightarrow{E}$$

推导过程中记得 $\mathrm{d}U = -\mathrm{d}\varphi$ 即可

微分形式的欧姆定律适用范围更广，对于非均匀导体与非稳恒电流均成立

电动势

由于稳恒电流要求电路闭合，因此只有静电场无法维持稳恒，必须依靠非静电力，提供非静电力的装置称为电源，非静电力形成的“场强”为 $\overrightarrow{E}_K$

电源的电动势 $\mathscr{E}$ 定义为在电源内部将单位正电荷从负极移动到正极，非静电力所做的功

稳恒电路

满足以下性质的电路：

1. 导体内部无净电荷分布，净电荷只能分布在导线表面或导体的不均匀处，如电极处，导线的表面、交界面、弯折处等
2. 外电路的导线内部，电流线与电场线方向一致，且与表面平时
3. 电源内部，电流密度满足：

$$\vec{j} = \sigma(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{E}_K)$$

全电路欧姆定律

由电源内部电流密度式积分可得：

$$\mathscr{E} = U + Ir$$

$r$ 为电源内阻

基尔霍夫第一定律

复杂电路中任一节点满足：

$$\sum I_i = 0$$

规定流出节点的电流为正，流入为负

基尔霍夫第二定律

复杂电路中任一闭合回路满足：

$$\sum\left(-\mathscr{E}_i\right) + \sum\left(I_i R_i\right) = 0$$

其中 $\mathscr{E}_i$ 和 $I_i$ 的方向与回路方向相同时为正

电容器的充放电

电容器充放电是非稳恒过程，但是在低频条件下仍可使用基尔霍夫定律

充电过程：

$$-\mathscr{E} + iR + u = 0$$

将 $i, u$ 展开得到：

$$-\mathscr{E} + \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}R + \frac{q}{C} = 0$$

解这个微分方程，得到：

$$q = C\mathscr{E}\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

同理，放电过程满足：

$$q = Qe^{-\frac{t}{RC}}$$

其中 $R$ 是保护电阻

我们将 $\tau = RC$ 定义为时间常数