大学物理 静电场中的导体

Chapter 3 - 静电场中的导体

导体静电平衡条件

只讨论各向同性且均匀的金属导体，静电平衡的条件为：

$$\begin{align*} \overrightarrow{E}_{\text{in}} &= \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{E}_{\text{surf}} &\perp \text{surface} \end{align*}$$

即内部和表面无自由电荷的定向移动，表现为内部为等势体，表面为等势面

静电平衡时导体上的电荷分布

1. 静电平衡时，导体内部各处净电荷为零，所带电荷只能分布在导体表面上
2. 表面场强满足：

$$\overrightarrow{E}_{\text{surf}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\overrightarrow{e}_n$$

3. 孤立导体表面曲率大处，面电荷密度也大，但不存在单一函数关系，这导致了尖端放电现象

静电唯一性定理

考虑经典的静电学问题：

唯一性定理保证的是，在给定任一以下条件的时候，所要求的解是唯一的：

1. 给定每个导体的总电量
2. 给定每个导体的电势
3. 给定一部分导体的电势，另一部分导体的电量

考虑到静电平衡时，导体内部无电场，上述条件可以改写为如下形式

这允许我们去用物理直觉瞪眼法解题

导体壳和静电屏蔽

封闭导体壳是指有内外表面，将空间分割为腔内、外两部分的导体，采用如下 notation

• 内外表面电荷：$q_{\text{in\_surf}}, q_{\text{out\_surf}}$
• 内外表面面电荷密度：$\sigma_{\text{in\_surf}}, \sigma_{\text{out\_surf}}$
• 腔内外电荷：$q_{\text{in}}, q_{\text{out}}$
• 腔内外电场：$\overrightarrow{E}_{\text{in}}, \overrightarrow{E}_{\text{out}}$

腔内无电荷

在壳内取高斯面，由高斯定理很容易证明：

$$\overrightarrow{E}_{\text{in}} = \overrightarrow{0},\quad \sigma_{\text{in\_surf}} = 0$$

即封闭导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内的影响

腔内有电荷

当腔内有电荷 $q_\text{in}$ 时，同样在壳内取高斯面，容易证明：

$$q_{\text{in\_surf}} = \oiint\limits_{S_\text{in}}\sigma_{\text{in\_surf}} = -q_{\text{in}}$$

这说明内表面电荷大小同样只与腔内电荷有关

根据电荷守恒定律，当腔外电荷与导体本身净电荷不变时，腔内电荷的改变将会影响外表面电荷的大小

即封闭导体壳无法屏蔽腔内电荷对壳外的影响

接地导体壳

考虑壳外区域 $V$，这个区域的边界是外表面 $S_\text{out}$ 与无穷远处，在导体壳接地时，有：

$$\varphi_\text{out} = \varphi_\infty = 0$$

这说明当固定 $q_\text{out}$ 的大小和位置时，壳外区域满足唯一性定理的条件

因此壳外电场与腔内电荷无关

电像法

电像法是唯一性定理的直接推论

在求解某个复杂静电学问题的时候，题目给定的是域 $V$ 的电荷分布与边界条件；为了简化计算，我们可以在题目要求的域外，构造出一些虚拟的像电荷，并去除掉已有系统中的一些导体（通常是边界），若经此处理之后，仍然能够保证域 $V$ 的边界条件不变，则根据唯一性定理，这个系统和原系统在 $V$ 中的解是等价的

例如下面两个例子

点电荷与平板

一无限大接地平板位于 $z = 0$ 平面，点 $(0, 0, a)$ 处有一点电荷 $q$，求 $z > 0$ 的电场分布

该题的边界条件为：

$$\begin{cases} \varphi|_{z = 0} = 0 \\ \varphi_{\infty} = 0 \end{cases}$$

因此考虑去掉平板，在点 $(0, 0, -a)$ 处放置像电荷 $q' = -q$，此时边界条件相同，故由唯一性定理，$q, q'$ 的合场强即为所求

点电荷与导体球

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