大学物理 静电场

Chapter 1 - 静电场

主要涉及电荷、库仑定律、高斯定理等

电荷守恒定律

$$e = 1.602176565 \times 10^{-19}\,\,\mathrm{C}$$

电量是相对论不变量（运动不改变物体电荷）

库仑定律

描述真空点电荷相互作用，要求施力电荷对观测者静止

基本形式：

$$\overrightarrow{F}_{12} = k\frac{q_1q_2}{r_{21}^2}\overrightarrow{e}_{r_{21}} = - \overrightarrow{F}_{21}$$

其中 $k = 9 \times 10^9 \,\,\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2 / \mathrm{C}^2$

将其有理化，引入真空介电常数

$$\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k} = 8.85 \times 10^{-12} \,\,\mathrm{C}^2 / (\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^2)$$

则：

$$\overrightarrow{F}_{12} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_{21}^2}\overrightarrow{e}_{r_{21}} = - \overrightarrow{F}_{21}$$

电场与电场强度

根据静止检验电荷所受电场力定义：

$$\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{F}}{q_0}$$

场强叠加原理：

常见静电场场强

点电荷与点电荷系

源电荷 $q$ 距离 $r$ 处场点的场强为：

$$\overrightarrow{E} = \frac{q\overrightarrow{e}_{r}}{4\pi\varepsilon_0r^2} \propto \frac{1}{r^2}$$

由场强叠加原理可得点电荷系的场强：

$$\overrightarrow{E} = \sum\limits_{i}\frac{q_i\overrightarrow{e}_{r_i}}{4\pi\varepsilon_0r_i^2}$$

电偶极子

一对靠得很近的等量异号点电荷构成的点电荷系，中点为 $O$, 二者的位矢为 $\overrightarrow{l}$，定义场点距离为场点 P 到点 O 的距离，当场点距离 $r >> l$ 时可以视为电偶极子

我们定义电偶极矩 $\overrightarrow{p} = q\overrightarrow{l}$，用于描述电偶极子的强度与方向

可以推导处，对于任意点 $P$，若 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{p}$ 的夹角为 $\theta$，则 $P$ 处场强为：

$$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}\Big(\frac{3(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{p})\overrightarrow{r}}{r^2} - \overrightarrow{p}\Big) \propto \frac{1}{r^3}$$

证明过程如下

证明过程

我们将电偶极矩 $\overrightarrow{p}$ 进行正交分解，以 $\overrightarrow{OP}$ 为径向，这样我们可以分别计算径向和切向的场强，在进行叠加
首先考虑对于电偶极矩 $\overrightarrow{p}$，其轴线上场点距离为 $r$ 的点处的场强：

电偶极子轴线上的场强示意图

$$\begin{align*} \overrightarrow{E} &= \overrightarrow{E}_+ + \overrightarrow{E}_- = \frac{q\overrightarrow{e}_l}{4\pi\varepsilon_0}\Big[\frac{1}{(r - \frac{l}{2})^2} - \frac{1}{(r + \frac{l}{2})^2}\Big] \\ &= \frac{q\overrightarrow{e}_l}{4\pi\varepsilon_0r^2}\Big[(1 - \frac{l}{2r})^{-2} - (1 + \frac{l}{2r})^{-2}\Big] \\ &\approx\frac{q\overrightarrow{e}_l}{4\pi\varepsilon_0r^2}\Big(1 + \frac{l}{r} - (1 - \frac{l}{r})\Big) \\ &= \frac{q\overrightarrow{l}}{2\pi\varepsilon_0r^3} = \frac{\overrightarrow{p}}{2\pi\varepsilon_0r^3}\end{align*}$$

其中近似是因为 $l / r \to 0$

接下来证明中垂线上的场强，根据几何关系可以得到场强方向应该与 $\overrightarrow{p}$ 相反

$$\begin{align*} \overrightarrow{E} &= \overrightarrow{E}_+ + \overrightarrow{E}_- = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0(r^2 + (\frac{l}{2})^2)}(q\overrightarrow{e}_{r_+} - q\overrightarrow{e}_{r_-}) \\ &\approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}(\overrightarrow{e}_{r_+} - \overrightarrow{e}_{r_-}) \\ &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\overrightarrow{r}_+ - \overrightarrow{r}_-) \\ &= -\frac{q\overrightarrow{l}}{4\pi\varepsilon_0r^3} = -\frac{\overrightarrow{p}}{4\pi\varepsilon_0r^3}\end{align*}$$

因此对于一般情况，将其正交分解后进行叠加：

电偶极子一般情况下的场强示意图

$$\begin{align*} \overrightarrow{E} &= \overrightarrow{E}_r + \overrightarrow{E}_\theta = \frac{\overrightarrow{p}_r}{2\pi\varepsilon_0r^3} - \frac{\overrightarrow{p}_\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} \\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}(2\overrightarrow{p}_r - \overrightarrow{p}_\theta) \\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}(3\overrightarrow{p}_r - \overrightarrow{p}) \\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}\Big(\frac{3(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{p})\overrightarrow{r}}{r^2} - \overrightarrow{p}\Big)\end{align*}$$证毕

在均匀外电场中，可以证明电偶极子所受力矩为：

$$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{p}\times\overrightarrow{E}$$

即会使电偶极子的空间取向尽量与外电场一致

连续带电体

将带电体分割成无限多的小电荷元

$$\overrightarrow{E} = \int \mathrm{d}\overrightarrow{E} = \int\limits_q\frac{\overrightarrow{e}_r}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm{d}q$$

通常，体电荷密度记为 $\rho$，面电荷密度记为 $\sigma$，线电荷密度记为 $\lambda$

均匀带电球面

$$\overrightarrow{E} = \begin{cases} 0 & r \leq R \\[1em] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\overrightarrow{e}_r & r > R \end{cases}$$

均匀带电球体

$$\overrightarrow{E} = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\overrightarrow{r} = \dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\overrightarrow{r} & r \leq R \\[1em] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\overrightarrow{e}_r & r > R \end{cases}$$

均匀带电无限长直线

$$\overrightarrow{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\overrightarrow{e}_r$$

均匀带电无限大平面

$$\overrightarrow{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\overrightarrow{e}_r$$

一道例题

均匀带电环面

一均匀带电环面，面电荷密度 $\sigma$，内外径 $R_1, R_2$，求其轴线上距离圆环中心 $x$ 处的场强 $\overrightarrow{E}$

当 $R_1 \to 0, R_2 \to \infty$ 时，有：

$$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{e}_r\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

这解释无限大均匀带电平面两侧的场强，可以看出这是一个匀强电场，平面两侧方向相反

电场线与电通量

电场线用于描述场强：

• 每一点的切向为场强方向
• 数密度描述了场强大小：$E = \mathrm{d}N / \mathrm{d}S_{\perp}$

电通量定义为：

$$\varPhi_e = \iint\limits_S\overrightarrow{E}\,\,\mathrm{d}\overrightarrow{s}$$

高斯定理