大学物理 电势

Chapter 2 - 电势

主要涉及到静电场的环路定理、电势、静电能

静电场的环路定理

首先提出静电场的保守性：静电力做功与路径无关（即静电场是保守场）

静电场的环路定理是指：

电势差与电势

定义空间 $P_1$ 点对 $P_2$ 点的电势差：

$$\varphi_{12} = \int_{P_1}^{P_2}\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l}$$

其值等于 $P_1\to P_2$ 移动单位正电荷所做的功

规定空间中某点 $O$ 为电势零点，则 $P$ 点处的电势为：

$$\varphi_P = \varphi_{PO} = \int_{P}^{O}\overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l}$$

易得：$\varphi_{12} = \varphi_1 - \varphi_2$

常见电势

由于电势零点的选择是任意的，通常情况下：

• 有限电荷分布：无穷远处
• 无限电荷分布：有限处某适当点
• 实际中：大地、机壳、公共线

点电荷

$$\varphi(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \propto \frac{1}{r}$$

均匀带电球面

球面半径为 $R$

$$\varphi(r) = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} & r \leq R \\[1em] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R \\ \end{cases}$$

球面内是等电势的

均匀带电球体

$$\varphi(r) = \begin{cases} \dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0 R^3}(3R^2 - r^2) & r \leq R \\[1em] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > R \\ \end{cases}$$

无限长带电直线

选取距离直线 $r_0$ 处的点为电势零点，显然由于场强是垂直于电线的，因此距离相同的任意一点都是等势的，有：

$$\varphi(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{r_0}{r}$$

电势叠加原理

在电荷系中，若所有电荷选取相同的电势零点，则某点电势等于各电荷在该点产生的电势的代数和

是场强叠加原理的直接推论

电势梯度

等势面是指电势相等的点组成的面，其与电场线处处垂直，相邻等势面的电势差相同

定义哈密顿算子为：

$$\nabla = \overrightarrow{i}\frac{\partial}{\partial\overrightarrow{x}} + \overrightarrow{j}\frac{\partial}{\partial\overrightarrow{y}} + \overrightarrow{k}\frac{\partial}{\partial\overrightarrow{z}}$$

这实际上是求标量函数梯度的算子，代表了标量函数增加最快的方向（沿着三个坐标轴单位向量的方向导数）

可以证明：

即电场强度指向电势下降最快的方向

静电能

电荷在外电场中的静电势能

定义为：

$$W = q\,\varphi$$

可以证明，电偶极子在匀强电场中的静电势能为：

$$W = -\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E}$$

电荷系的静电能

把 $n$ 个静止的点电荷由当前的位置，彼此分散到无穷远的过程中静电力作的功，称为现有位置这 $n$ 个点电荷间的相互作用能 $W_{\mathrm{mut}}$

可以证明：

$$W_{\mathrm{mut}} = \frac{1}{2}\sum\limits_i q_i\varphi_i$$

其中 $\varphi_i$ 是指除了电荷 $q_i$ 之外的电荷在该点的电势

连续带电体的静电能

微元法成电荷系即可，定义为把电荷元分散到无穷远处静电力做的功，也称之为该带电体的自能

$$W_{\mathrm{mut}} = \frac{1}{2}\int_q \varphi\,\mathrm{d}q$$

例如可以计算（微元球壳），均匀带电球体的自能为：

$$W_{\mathrm{self}} = \frac{3q^2}{20\pi\varepsilon_0R} = \frac{4\pi\rho^2R^5}{15\varepsilon_0}$$

能量密度

静电能存储在静电场分布的整个区域，而并不是集中在电荷集中的区域，因此我们定义真空中能量密度为：

$$w_e = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

因此另一种计算静电能的方法为：

$$W = \iiint\limits_V \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\mathrm\,\mathrm{d}V$$

在静电学中，这种方法和之前的定义是等价的