信号处理原理 笔记 2

信号的数学基础

信号运算

共有四种基本运算：

• 四则运算：线性、乘除
• 波形变换：时移、压扩、反褶
• 数学运算：微分、积分
• 相互运算：卷积、相关

四则运算

略

波形变换

• 时移运算：将原信号的波形沿横轴平移$b$个单位，即$f(t) \to f(t - b)$
• 反褶运算: 将原信号沿着纵轴翻转
• 压扩运算：将原信号压缩/扩张为原来的$|a|$个单位，$a$的符号决定是否需要反褶

数学运算

• 微分运算：图像边缘提取
• 积分运算：重叠

举例：

• 能量信号：$E\bigl(f(t)\bigr) = \int_{-\infty}^{\infty}||f(t)||^{2}dt$
• 功率信号：$P\bigl(f(t)\bigr) = \lim\limits_{T\to \infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}||f(t)||^{2}dt$

离散信号类似，将 $\int$ 换为 $\sum$ 即可

相互运算

卷积运算

设$f, g$为两个连续时间信号，其卷积定义为：

$$(f*g)(t) = f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t - \tau)g(\tau) d\tau$$

运算性质：

• 交换律：$f_{1}*f_{2} = f_{2}*f_{1}$
• 分配率: $f_{1}*(f_{2} + f_{3}) = f_{1}*f_{2} + f_{1} * f_{3}$
• 结合律：$f_{1}*(f_{2} * f_{3}) = (f_{1} * f_{2}) * f_{3}$
• 微分积分性质：$(f_{1}*f_{2})^{(n)} = f_{1}^{(m)} * f_{2}^{(n-m)}$
  上式中的$n, m, n-m$代表微分/积分的阶数，正数代表微分，负数代表积分

相关运算

定义为：

$$\begin{align*} R_{f_{1}f_{2}}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau)\overline{f_{2}(\tau - t)}d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\tau + t)\overline{f_{2}(\tau)}d\tau \end{align*}$$

性质：

• $R_{f_{1}f_{2}}(t) = \overline{R_{f_{2}f_{1}}(-t)}$
• $R_{f_{2}f_{1}}(t) = \overline{f_{1}(-t)}*f_{2}(t)$

奇异信号

Sa函数

略

单位斜变信号

定义为：

$$R(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ t & t \geq 0 \end{cases}$$

截顶的单位斜变信号定义为：

$$R(t, \tau) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ t & 0\leq t < \tau \\ \tau & t \geq \tau \end{cases}$$

单位阶变信号

定义为：

$$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{cases}$$

单位矩形脉冲信号

定义为：

$$G_{\tau}(t) = \begin{cases} 1 & |t| \leq \tau / 2\\ 0 & |t| > \tau / 2 \end{cases}$$

脉冲的定义

符号函数

$$\text{sgn}(t) = \begin{cases} 1 & t \geq 0 \\ -1 & t < 0 \end{cases}$$

单位冲激信号

狄拉克定义$\delta(t)$为满足以下两式的信号：

$$\begin{align*} \delta(t) &= 0\quad (t \neq 0) \\ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t) &= 1 \end{align*}$$

可一般化为：$\delta_{E, t_{0}}(t) = E\delta(t - t_{0})$

也可以定义为：

$$\delta(t) = \lim\limits_{\tau\to 0}\frac{G_{\tau}(t)}{\tau}$$

性质：

$$\begin{align*} f(t) * \delta(t) &= f(t) \\ f(t) * \delta(t - t_{0}) &= f(t - t_{0}) \\ \delta(at) &= \frac{1}{|a|}\delta(t)\qquad(a \neq 0) \\ \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau &= u(t) \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - t_{0})dt &= f(t_{0}) \end{align*}$$

当我们把很多个冲激点不同的冲激信号线性叠加时，可以得到冲激串信号，通常取冲激点为周期变化的序列，可以用于信号的抽样：

$$\Delta_{T_{s}}(t) = \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}\delta(t - nT_{s})$$

则我们可以对于信号$f(t)$抽样出其中的一个子信号序列：

$$f_{s}(t) = f(t)\cdot\Delta_{T_{s}}(t) = \sum\limits_{n = -\infty}^{\infty}f(nT_{s})\delta(t - nT_{s})$$