信号处理原理 笔记 8

Z变换

Z变换是Fourier变换的扩展，将其中的变换核从单位根变换为任意复数，而我们考虑离散时间的情况，对应的公式为：

$$\begin{align*} X(\omega) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega} = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)(e^{j\omega})^{-n} \\ X(z) &= \mathscr{Z}\bigl[x(n)\bigr] = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \end{align*}$$

既然涉及到了复变函数，那就一定需要讨论收敛域，我们将所有使$X(z)$收敛的$z$的取值范围称为$X(z)$的收敛域，记为ROC

一些结论：

• ROC通常是复平面圆环
• 极点通常为ROC边界
• ZT是ROC内的解析函数

特定序列的ROC

有限长序列

$$\begin{align*} x(n) = \begin{cases} \in \mathbb{C} & n \in [n_{1}, n_{2}] \\ 0 & \rm else \end{cases} \end{align*}$$

此时收敛域只有可能不包括原点和无穷远点，具体来说：

$$\begin{align*} n_{1} < 0 < n_{2}&\Rightarrow 0 < |z| < \infty \\ n_{1} < n_{2} \leq 0 &\Rightarrow 0 \leq |z| < \infty \\ 0 \leq n_{1} < n_{2} &\Rightarrow 0 < |z| \leq \infty \end{align*}$$

右边序列

$$\begin{align*} x(n) = \begin{cases} \in \mathbb{C} & n \in [n_{1}, +\infty) \\ 0 & \rm else \end{cases} \end{align*}$$

由$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x(n)z^{-n}|} < 1$，ROC至少为$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x(n)|} = R_{x1} < |z| < \infty$

如果不满足前置条件，则Z级数不一定收敛，并且$R_{x1}$可能 不存在

无穷远处的收敛性取决于$n_{1}$正负号，具体来说：

$$\begin{align*} n_{1} < 0 &\Rightarrow R_{x1} < |z| < \infty \\ n_{1} \geq 0 &\Rightarrow R_{x1} < |z| \leq \infty \end{align*}$$

也即模最大的有限极点所在圆周的外侧，不包括圆周

左边序列

$$\begin{align*} x(n) = \begin{cases} \in \mathbb{C} & n \in (-\infty, n_{2}] \\ 0 & \rm else \end{cases} \end{align*}$$

有$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x(-n)z^{n}|} < 1$，ROC至多为$0 \leq |z| < R_{x2} = (\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|x(-n)|})^{-1}$

无穷远处的收敛性取决于$n_{1}$正负号，具体来说：

$$\begin{align*} n_{2} > 0 &\Rightarrow 0 < |z| < R_{x2} \\ n_{2} \leq 0 &\Rightarrow 0 \leq |z| < R_{x2} \end{align*}$$

也即模最小的非零极点所在圆周的内侧，不包括圆周

双边序列

$x(n)$在整个序列上都有定义，处理方式是将其拆分成左边序列和右边序列的和：

$$X(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} + \sum\limits_{n=-\infty}^{-1}x(n)z^{-n}$$

于是双边序列的Z变换存在当且仅当$R_{x1}$和$R_{x2}$都存在且$R_{x1} < R_{x2}$，对应的ROC为$R_{x1} < |z| < R_{x2}$

常见序列ZT

单位冲击序列

$$\mathscr{Z}[\delta(n)] = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(n)z^{-n} = \delta(0) = 1$$

ROC为全复平面

单位阶跃序列

$$\mathscr{Z}[u(n)] = \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}}$$

ROC为$|z| > 1$

矩形脉冲序列

$$\mathscr{Z}[G_{N}(n)] = \sum\limits_{n=0}^{N - 1}z^{-n} = \frac{1 - z^{-N}}{1 - z^{-1}}$$

ROC为$0 < |z| \leq \infty$

单位指数序列

$$\mathscr{Z}[a^{n}u(n)] = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a^{n}z^{-n} = \frac{1}{1 - az^{-1}}$$

ROC为$|z| > |a|$

如果没有要求是因果序列，即可能在$n < 0$的时候也有值，则例如

$$\begin{align*} \mathscr{Z}[a^{n}u(-n - 1)] &= \sum\limits_{n=-\infty}^{-1}(a^{n}z^{-n}) \\ &= \begin{cases} \dfrac{1}{1 - az^{-1}} & |z| < |a| \\ 0 & z = 0 \end{cases} \end{align*}$$

ROC为$0 \leq |z| < |a|$

ZT的性质

线性性

$$\mathscr{Z}\Bigg[\sum\limits_{k=1}^{K}a_{k}x_{k}(n)\Bigg] = \sum\limits_{k=1}^{K}a_{k}X_{k}(z)$$

时域平移

$$\mathscr{Z}\bigl[x(n + m)\bigr] = z^{m}X(z)$$

时域扩展

$$\begin{align*} x_{(a)}(n) = \begin{cases} x(\frac{n}{a}) & \frac{n}{a} \in Z \\ 0 & \frac{n}{a} \notin Z \end{cases} \end{align*}$$

其中要求：$0\neq a \in Z$

在几何上，这相当于首先根据$a$的符号决定 是否需要反褶，之后插入$|a| - 1$个0

则扩展之后的ZT为：

$$\mathscr{Z}\bigl[x_{(a)}(n)\bigr] = X[z^{a}]$$

ROC变化是等价的，即为：$R_{1} < |z^{a}| < R_{2}$

对称性

如果序列是偶对称的，则：

$$\begin{align*} X(z) &= \mathscr{Z}\bigl[x(n)\bigr] = \mathscr{Z}\bigl[x(-n)\bigr] \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(-n)z^{-n} \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}x(n)(\frac{1}{z})^{-n} = X(\frac{1}{z}) \end{align*}$$

同理如果序列是奇对称的，那么：

$$X(z) = -X(\frac{1}{z})$$

时域共轭

$$\mathscr{Z}\bigl[x^{*}(n)\bigr] = X^{*}(z^{*})$$

因此对于实序列，我们有：

$$X(z) = \mathscr{Z}\bigl[x(n)\bigr] = \mathscr{Z}\bigl[x^{*}(n)\bigr] = X^{*}(z^{*})$$

Z域尺度变换

$$\begin{align*} \mathscr{Z}\bigl[a^{n}x(n)\bigr] &= X(\frac{z}{a}) \quad R_{x1} < |\frac{z}{a}| < R_{x2} \\ \mathscr{Z}\bigl[a^{-n}x(n)\bigr] &= X(az) \quad R_{x1} < |az| < R_{x2}\\ \mathscr{Z}\bigl[(-1)^{n}x(n)\bigr] &= X(-z) \quad R_{x1} < |z| < R_{x2}\\ \mathscr{Z}\bigl[e^{jn\omega_{0}}x(n)\bigr] &= X(e^{-j\omega_{0}}z) \quad R_{x1} < |z| < R_{x2}\\ \end{align*}$$

Z域微分

$$\begin{align*} \mathscr{Z}\bigl[nx(n)\bigr] &= -z\frac{d}{dz}\mathscr{Z}\bigl[x(n)\bigr] \\ \mathscr{Z}\bigl[n^{m}x(n)\bigr] &= \Bigg[-z\frac{d}{dz}\Bigg]^{m}\mathscr{Z}\bigl[x(n)\bigr] \\ \end{align*}$$

ROC只可能在零或无穷远点处变化

初值定理与终值定理

$$\begin{align*} x(0) &= \lim\limits_{z\to\infty}X(z) \\ \lim\limits_{n\to\infty} x(n) &= \lim\limits_{z\to 1}(z - 1)X(z) \end{align*}$$

要求极限存在，即：

• $X(z)$的极点必须在单位圆内，或
• 极点位于单位圆上，且为一阶极点

卷积定理

$$\mathscr{Z}\big[x(n) * y(n)\big] = \mathscr{Z}\big[x(n)\big]\mathscr{Z}\big[y(n)\big]$$

其ROC至少为原序列ROC的交集，如果出现零极点相抵则可能会扩大

Parseval

$$\sum\limits_{n = -\infty}^{\infty} x(n)y^{*}(n) = \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(z)Y^{*}(\frac{1}{z^{*}})z^{-1}dz$$

逆Z变换

仅考虑$X(z)$为只有一阶极点的有理分式

我们将$X(z)$写成$N(z) / D(z)$的形式，考虑其化简之后的形式，分为两种情况

$$\begin{align} X(z) &= \frac{N(z)}{D(z)} = \sum\limits_{k = 1}^{M}\frac{A_{k}}{1 - p_{k}z^{-1}} \\ X(z) &= \frac{N(z)}{D(z)} = A_{0} + \sum\limits_{k = 1}^{M}\frac{A_{k}}{1 - p_{k}z^{-1}} \\ X(z) &= \frac{N(z)}{D(z)} = \frac{Q(z)D(z) + R(z)}{D(z)} = Q(z) + \frac{R(z)}{D(z)} \\ X(z) &= \frac{N(z)}{D(z)} = N(z)(\frac{1}{D(z)}) = N(z)W(z) \end{align}$$

$(1)(2)$式中，我们有：

$$\begin{align*} \quad A_{0} &= [X(z)]|_{z = 0} \\ A_{k} &= [(1 - p_{k}z^{-1})X(z)]|_{z = p_{k}}\\ D(z) &= \prod\limits_{k=1}^{M}(1 - p_{k}z^{-1}) \end{align*}$$

也即$A_{k}$为所有一阶极点处的留数

$(3)(4)$式代表分子次数绝对值更高的情况，这种情况可以首先降次再进行处理（转化成$(1)(2)$的形式），也可以拆成两个多项式的乘积，之后利用ZT的线性性和平移特性求出

所以最终需要求出的是形如$(1 - p_{k}z^{-1})^{-1}$的形式的IIR，而这恰好是单位指数序列的IR：

$$\begin{align*} \mathscr{Z}[a^{n}u(n)] &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a^{n}z^{-n} = \frac{1}{1 - az^{-1}} \quad |z| > |a|\\ \mathscr{Z}[a^{n}u(-n - 1)] &= \sum\limits_{n=-\infty}^{-1}(a^{n}z^{-n}) = \begin{cases} \dfrac{1}{1 - az^{-1}} & |z| < |a| \\ 0 & z = 0 \end{cases} \end{align*}$$

因果序列与稳定性

如果需要我们求出因果序列（$n < 0$的时候无值），则需要使用第一种形式，即收敛域为$|z| > |a|$

对于一个系统，其是稳定的当且仅当收敛域包含单位圆，这由上一章的BIBO系统保证

因此：

• 因果系统是稳定的当且仅当其所有极点在单位圆内
• 反因果系统是稳定的当且仅当其所有极点在单位圆外

逆Z变换与差分方程

在上一章中，我们求出了如下关系式：

$$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)}$$

我们将FT泛化为ZT，可以得到：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$$

将$H(z)$成为LTI系统的传递函数，也称系统函数，其实际上是系统单位冲激响应$h(n)$的Z变换

但是计算$h(n) = \mathscr{Z}^{-1}{H(z)}$非常复杂，因此我们希望能够想到一种办法，能够直接从$H(z)$求出差分方程

考虑下述的差分方程：

$$\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}y(n-k) = \sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}x(n-r)$$

则我们对两边做ZT，由平移特性可得：

$$Y(z)\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}z^{-k} = X(z)\sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}z^{-r}$$

因此

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum\limits_{r=0}^{M}a_{r}z^{-r}}{\sum\limits_{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}$$

这说明，$\boldsymbol{H(z)}$有理分式表达式和差分方程可以直接进行转换